추상대수학에서 동형 정리(同型定理, 영어: isomorphism theorem)는 준동형과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다.[1]:§II.6 이는 보편 대수학의 정리로, 임의의 대수 구조에 대하여 정의할 수 있다.
대수 구조
는 집합
와,
꼴의 함수들의 집합
의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형은 연산들을 보존시키는 함수이다.
제1 동형 정리[편집]
대수 준동형
에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.
는
의 부분대수이다.
는
위의 합동 관계이다.
는 대수의 동형 사상이다.
제2 동형 정리[편집]
대수
및 부분대수
및
위의 합동 관계
가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.
는
위의 합동 관계이다.
가
와 겹치는
-동치류들의 원소들의 집합이라고 하자. 그렇다면
은
의 부분대수이다.
은
와 동형이다.
제3 동형 정리[편집]
대수
위에 두 합동 관계
가 주어졌으며,
라면
이라고 하자. 즉,
이
보다 더 고른 동치 관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
위의 이항 관계
를
로 정의하자. 그렇다면
는
위의 합동 관계이다.
는
과 동형이다.
위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.
보편 대수 |
군 |
환 |
가군
|
대수 구조 ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) |
군 ![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
환 ![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33) |
-왼쪽 가군
|
합동 관계 ![{\displaystyle \sim }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcc42adfcfdc24d5c4c474869e5d8eaa78d1173) |
정규 부분군 ![{\displaystyle N\vartriangleleft G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2a05dace7f885a04cde60373e1628a00857e52) |
아이디얼 ![{\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd509e302a57cae13f78d8acb5f07d4d4b5319b9) |
부분가군
|
부분 대수 ![{\displaystyle B\subset A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670e1f664373a6eb64b063d1856ddc49a527366e) |
부분군 ![{\displaystyle H\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c017471513c8b1345c68cf521c2a7c451bad4e) |
부분환 ![{\displaystyle S\subset R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4856f56f929a99358b6e20515b8b7396cc145f) |
부분가군
|
![{\displaystyle B^{\sim }\subset A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3187c582d5607e2fa19a1890d9a455a3b60e3e38) |
![{\displaystyle HN\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512e8dadba47b4cdd326bbb379d1870cd8316c1d) |
![{\displaystyle S+{\mathfrak {a}}\subset R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54b0e36b18dd778cffd3f333ff167f75d9a2459) |
|
![{\displaystyle \sim |_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ecf64f07fd87edace33899ea19bcc2dced1bdf) |
![{\displaystyle H\cap N\vartriangleleft H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2474044493d7d6bbc93b982a1e667fdaed2f2ef) |
![{\displaystyle S\cap {\mathfrak {a}}\subset S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c90a7ea329771e41da72a37cefd12baaee3a6d7) |
|
![{\displaystyle \sim |_{B^{\sim }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca3b246333d37d8e910be9250011b34264bb5c6) |
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3) |
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f656feeddb5d98500bb4d3fc31038d0b87484b) |
|
이 보다 더 고름 |
![{\displaystyle N_{1}\subset N_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3625fa390b4b0898f558d04438ff52ae0c805d) |
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fcb743dd14451324712c4e2ac0be05faebde80) |
|
![{\displaystyle \sim _{2}/\sim _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b211e189802add40ecc23156f5de8ea87314b92) |
![{\displaystyle N_{2}/N_{1}\vartriangleleft G/N_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2728122b5ac374e1f130df24ef73a1f0fa0c4c75) |
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1}\subset R/{\mathfrak {a}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6a9b819f0ce82a43b8ab4a78c5795349e03fa6) |
|
군 동형 정리[편집]
제1 동형 정리[편집]
군 준동형
에 대하여,
![{\displaystyle \phi (G)\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c0d7790ca151ac90948252a4d4c2c5531d5eea)
![{\displaystyle \ker \phi \vartriangleleft G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aec06b2429a623491bc5a9a5a4f76a59670ada6)
![{\displaystyle G/\ker \phi \cong \phi (G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7cadfc5b54cb6edd98d3ca53a1ad152d26d7bf5)
제2 동형 정리[편집]
군
및 부분군
및 정규 부분군
에 대하여,
![{\displaystyle H\cap N\vartriangleleft H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2474044493d7d6bbc93b982a1e667fdaed2f2ef)
![{\displaystyle HN\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512e8dadba47b4cdd326bbb379d1870cd8316c1d)
![{\displaystyle (HN)/N\cong H/(H\cap N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121177d614bcacb0b6b92ab4eb485eec43e37294)
제3 동형 정리[편집]
군
및 정규 부분군
에 대하여,
![{\displaystyle N_{2}/N_{1}\vartriangleleft G/N_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2728122b5ac374e1f130df24ef73a1f0fa0c4c75)
![{\displaystyle (G/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong G/N_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d42d380c6f74322bdbc26d43ccaab4c40ce172)
환 동형 정리[편집]
제1 동형 정리[편집]
환 준동형
에 대하여,
는
의 부분환이다.
는
의 아이디얼이다.
![{\displaystyle R/\ker \phi \cong \phi (R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737570a5ac60f913296fce56fdda88dec0e4eb8d)
제2 동형 정리[편집]
환
및 부분환
및 아이디얼
에 대하여,
는
의 아이디얼이다.
는
의 부분환이다.
![{\displaystyle (S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}\cong S/(S\cap {\mathfrak {a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3911f9935e09d1e2bb71b794540368bcaec42b)
제3 동형 정리[편집]
환
및 아이디얼
에 대하여,
은
의 아이디얼이다.
![{\displaystyle (R/{\mathfrak {a}}_{1})/({\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1})\cong R/{\mathfrak {a}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef53d6867a96859b48bb83ba5248a06f5abe7ec9)
가군 동형 정리[편집]
모든 가군은 주어진 환
에 대한 왼쪽 가군이다.
제1 동형 정리[편집]
가군 준동형
에 대하여,
은
의 부분가군이다.
는
의 부분가군이다.
![{\displaystyle M/\ker \phi \cong \phi (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea847aa6b5145e3061d51c742bc20e336b0cb8a1)
제2 동형 정리[편집]
가군
의 부분가군
에 대하여,
는
의 부분가군이다.
는
의 부분가군이다.
- 따라서,
는
의 부분가군이다.
![{\displaystyle (N+P)/P\cong N/(N\cap P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a35789a0b4431c36a537cfef1f845fa5c1c9e21)
제3 동형 정리[편집]
가군
의 부분가군
에 대하여,
은
의 부분가군이다.
![{\displaystyle (M/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong M/N_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb761383a1c0beebb351e5b1900552ddc5d42d8b)
에미 뇌터가 1927년에 증명하였다.[2][3]
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]